Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且OC⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：平面AB₁C⊥平面BCD；
（Ⅱ）若G为B₁C上的一点，A₁G∥平面BCD，证明：G为B₁C的中点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明△ABD∽△ABB₁，转化证明AB₁⊥BD，推出AB₁⊥OC，即可证明AB₁⊥平面BCD，然后证明平面AB₁C⊥平面BCD．
（Ⅱ） 作A₁K∥BD交BB₁于K，连结KG，说明A₁K∥平面BCD，推出平面A₁KG∥平面BCD，证明BC∥KG，说明A₁KBD为平行四边形，推出K为BB₁的中点，得到G为B₁C的中点．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵ABB₁A₁为矩形，AB=2，$A{A_1}=2\sqrt{2}$，D是AA₁的中点，
∴∠BAD=90°，$∠AB{B_1}={90^0}$，$B{B_1}=2\sqrt{2}$，$AD=\frac{1}{2}A{A_1}=\sqrt{2}$
从而△ABD∽△ABB₁，

∴∠ABD=∠AB₁B…（2分）
∴$∠A{B_1}B+∠BA{B_1}=∠ABD+∠BA{B_1}=\frac{π}{2}$，∴$∠AOB=\frac{π}{2}$，从而AB₁⊥BD…（4分）
∵OC⊥平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，∴AB₁⊥OC，
∵BD∩OC=O，∴AB₁⊥平面BCD，
∵AB₁?平面AB₁C，∴平面AB₁C⊥平面BCD…（6分）
（Ⅱ） 作A₁K∥BD交BB₁于K，连结KG，
∵A₁K?平面BCD，BD?平面BCD，∴A₁K∥平面BCD，
又A₁G∥平面BCD，A₁K∩A₁G=A₁
∴平面A₁KG∥平面BCD，…（8分）
∵平面BB₁C∩平面BCD=BC，平面BB₁C∩平面A₁KG=KG，∴BC∥KG…（10分）
在矩形ABB₁A₁中，∵AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁
∴A₁KBD为平行四边形，
从而$BK={A_1}D=\frac{1}{2}A{A_1}=\frac{1}{2}B{B_1}$，∴K为BB₁的中点，
∴G为B₁C的中点．…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．