Question

        棱长为1的正方体ABCD—A­₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O₁、O₂、O₃分别为平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心.

   （1）求PO₂的长。

   （2）求证：B₁O₃⊥PA；

   （3）求异面直线PO₃与O₁O₂所成的角；

Answer 1

解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，则              …………2分

B₁（1，1，1，），

于是…………4分

   （1）由模的公式得：

    即PO₂的长为                    …………6分

   （2）证明：

           …………8分

   （3），

               …………9分

                    

     …………11分

∴异面直线PO₃与O₁O₃所成角的大小         …………12分

（此题用几何法同样可以求解，略）