Question

【题目】如图，已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设Z是直线OP上的一动点．

(1)求使取最小值时的；

(2)对(1)中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

Answer 1

【答案】（1）最小值－8，＝ (4,2)（2）

【解析】分析：（1）运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA，ZB的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ；（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到．

详解：(1)∵Z是直线OP上的一点，∴∥.

设实数t，使＝t，∴＝t(2,1)＝(2t，t)，

则＝－＝(1,7)－(2t，t)＝(1－2t,7－t)，

＝－＝(5,1)－(2t，t)＝(5－2t,1－t)．

∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.

当t＝2时，·有最小值－8，此时＝(2t，t)＝(4,2)．

(2)当t＝2时，＝(1－2t,7－t)＝(－3,5)，

||＝，＝(5－2t,1－t)＝(1，－1)，||＝.

故cos∠AZB＝＝＝－＝－