Question

9．在△ABC中，AB=5，AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值为12．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂径定理得D、E分别为AB、AC的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD=$\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AO}|}$，由向量数量积的定义得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠OAD=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，同理可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²，而$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），展开后代入前面的数据即可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵⊙O中，OD⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，cos∠OAD=$\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AO}|}$，
因此，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠OAD=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=$\frac{25}{2}$；
同理可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=$\frac{49}{2}$．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{49}{2}$-$\frac{25}{2}$=12．
故答案为：12．

点评 本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知边长的情况下求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．