Question

4．定义在区间I上的函数f（x），若任给x₀∈I，均有f（x₀）∈I，则称函数f（x）在区间I上“和谐函数”．
（1）已知函数判断f（x）=-2x+5，在区间[-1，3]是否“和谐函数“，并说明理由；
（2）设g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$是[1，b]上的“和谐函数”，求常数b的取值范围；
（3）函数h（x）=$\frac{2x+m}{x+2}$在区间[2，3]上“和谐函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）=-2x+5在R上是减函数，利用新定义列出不等式求解即可．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$在[1，+∞）是单调递增的，利用新定义列出不等式求解即可．
（3）通过1⁰当m=4时，2⁰当m＞4时，3⁰当m＜4时，利用新定义验证，求解推出m的取值范围．

解答 （满分12分）
解：（1）f（x）=-2x+5在R上是减函数，所以当x∈[-1，3]时f（3）≤y≤f（-1）
即-1≤y≤7，[-1，7]?[-1，3]即该函数不是和谐函数-------------------（2分）
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$在[1，+∞）是单调递增的，要使它在区间[1，b]是和谐函数，
$h（x）=\frac{2x+m}{x+2}=2+\frac{m-4}{x+2}$，
即g（1）=1显然成立，g（b）≤b，即$\frac{1}{2}$b²-b+$\frac{3}{2}$≤b，即b²-4b+3≤0，所以1≤b≤3------（5分）
（3）1⁰当m=4时，显然h（x）=2∈[2，3]，满足题意-------------------（7分）
2⁰当m＞4时，显然h（x）在[2，3]是减函数，即h（3）≤h（x）≤h（2）
即$\left\{\begin{array}{l}h（3）=\frac{6+m}{5}≥2\\ h（2）=\frac{4+m}{4}≤3\end{array}\right.$
解得：4＜m≤8-------------------------------------------（9分）
3⁰当m＜4时，显然h（x）在[2，3]是增函数，即h（2）≤h（x）≤h（3）
即$\left\{\begin{array}{l}h（3）=\frac{6+m}{5}≤3\\ h（2）=\frac{4+m}{4}≥2\end{array}\right.$
解得：4≤m≤9
显然这时m∈ϕ------------------------------------（11分）
综上所述m的取值范围是[4，8]-----------------------------（12分）

点评 本题考查函数与方程的应用，新定义的应用，考查分类讨论思想的应用．