Question

【题目】已知：函数，.

（1）当时，求的值域；

（2）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）[1，5]；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意，a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，由二次函数的性质分析可得答案；

（2）根据题意，f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2，是对称轴为x＝a，且开口向上的二次函数；按a的取值范围分3种情况讨论即可得答案．

（1）根据题意，a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，

又由，则x=1，函数有最小值1，当x=-1,函数有最大值5，故1≤f（x）≤5，

即函数的值域为[1，5]；

（2）根据题意，f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2，是对称轴为x＝a，且开口向上的二次函数；

分3种情况讨论：

当a＜-1时，f（x）在[-1，2]上为增函数，此时最大值为f（2）＝6-4a，

当-1≤a≤2时，此时最大值为f（a）＝2﹣a2，

当a＞2时，f（x）在[-1，2]上为减函数，此时最大值为f（-1）＝3+2a，