Question

已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若，且          对任意恒成立，求的最大值；
（Ⅲ）当时，证明．

Answer 1

（1）．（2）整数的最大值是3．（3）见解析

第一问中利用，，以及函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，得a=1
第二问中利用对任意恒成立，即对任意恒成立．构造新函数，利用导数来判定单调性求解最值。第三问中，由（2）知，是上的增函数，
所以当时，
然后分析得证。
（1）解：因为，所以．…………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．所以．……………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分
令，则，…………………………………4分
令，则，
所以函数在上单调递增．……………5分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，…6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．…7分
所以．故整数的最大值是3．……8分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………9分
所以当时，．………………10分
即．整理，得
．
因为，所以．
即．即．所以．
证明2：构造函数
，…………………………9分
则．……………………………10分
因为，所以．
所以函数在上单调递增． 因为， 所以．
所以
．
即．
即．即．
所以．