Question

已知函数。
（1）求函数在区间上最小值；
（2）对（1）中的，若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；
（3）若点A，B，C，从左到右依次是函数图象上三点，且这三点不共线，求证：是钝角三角形。

Answer 1

见解析.

本试题主要考查了导数在函数中的运用。
解：(1)因为f(x)=2(x-a),所以=6-4ax=6x(x-a).令=0,得x=0或x=a.…………2分
①若a<,即0<a<1时, 则当1x2时, >0,所以f(x)在区间[1,2]上是增函数, 所以h(a)=f(1)=2-2a.…………4分
②若a<3,即1a<2时, 则当1x<a时, <0, 当a<x2时>0, 所以f(x)在区间[1, a]上是减函数, 所以.在区间[a ,2]上是增函数, 所以. h(a)== …………6分
③若a3,即a2时,当1x2时, 0,所以f(x)在区间[1,2]上是减函数, 所以h(a)=f(2)=16-8a
综上所述,函数f(x)在区间[1,2]上的最小值是 …………8分
(2)．因为方程h(a)=k(a+1)有两个不同的实数解,令y=k(a+1),可得y=h(a)图象与直线y=k(a+1)有两个不同的交点,而直线y=k(a+1)恒过定点(-1,0),由图象可得的取值范围是(-8,-2).…………12分
(3).证明:不妨设<<,由(2)知>>,=(-,-),
=(-,-), 所以=(-)(-)+[-],因为-<0, ->0, ->0,-<0, 所以<0. 又因为A,B,C三点不共线, 所以,即为钝角三角形…………16分