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    【题目】如图，在直三棱柱中，，且，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足.

    （1）证明：平面；

    （2）若M为的中点，求二面角的正弦值.

    【答案】（1）详见解析；（2）.

    【解析】

    （1）推导出平面，从而，由，得，再由，能证明平面．
    （2）以A为原点，分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

    解：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴

    ∵，平面，平面，且，

    ∴平面，（或者由面面垂直的性质证明）

    又∵平面，∴

    ∵，∴，

    ∵，平面，平面，且，

    ∴平面

    （2）以A为原点，分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系﹐

    设，则，，，，，，，

    ∵，∴，∴

    ∴，，

    设平面法向量为

    ，

    ∴，∴可取

    设平面法向量为

    ，

    ∴，∴可取

    ∴

    所以二面角的正弦值为.

    练习册系列答案
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    （1）证明：平面平面.

    （2）求二面角的正弦值．

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