Question

设f1(x)=

2

1+x

，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*，则数列{a_n}的通项

 

．

Answer 1

分析：根据已知可得f₁（0）=2，a₁=

2-1

2+2

=

1

4

，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，从而a_n+1=-

1

2

a_n．所以数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为-

1

2

的等比数列，故可求数列{a_n}的通项．

解答：解：（1）∵f₁（0）=2，a₁=

2-1

2+2

=

1

4

，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

a_n，
∴q=

an+1

an

=-

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为-

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

4

（-

1

2

）^n-1．
故答案为：a_n=

1

4

（-

1

2

）^n-1．

点评：本题考查由数列递推式求数列的通项，属中档题，解决本题的关键准确理解题意，寻求数列递推式．