Question

【题目】已知抛物线，抛物线上的点到焦点的距离为2．

（1）求抛物线的方程和的值；

（2）如图，是抛物线上的一点，过作圆的两条切线交轴于，两点，若的面积为，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

（1）根据题意，由抛物线的定义可求出，即可求出抛物线的方程，再将点点代入抛物线方程中，即可求出的值；

（2）设点，分类讨论当切线的斜率不存在时和当切线的斜率不存在时，结合题给，得出不符合题意；则当切线，的斜率都存在时，则，设切线方程为，根据圆的切线的性质和点到直线的距离公式，以及韦达定理的应用，即可求出和的坐标，再结合可求出，即可求出点点的坐标.

解：（1）由抛物线的定义，易得，

∴，

∴抛物线的方程为，

由于点在抛物线上，

则，解得：.

（2）设点，

当切线的斜率不存在时，，

设切线，

圆心到切线的距离为半径长，即，

∴，∴，∴，不符合题意；

同理，当切线的斜率不存在时，，不符合题意；

当切线，的斜率都存在时，则，

设切线方程为，

圆心到切线的距离为半径长，即，

两边平方整理得，

设，为方程的两根，则，

由切线，切线，

得，，

∴

，

由于，则，

整理得：，

∴或72，

∴或.