Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
∴△AOB的最大面积S= |OA|（2+ ）=2+ ．
【解析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM||OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．