Question

【题目】已知函数．

（）若在处取得极值，求实数的值．

（）求函数的单调区间．

（）若在上没有零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）.

【解析】试题分析：（1）求导，根据题意得，解得，再检验即可；

（2）由，令，得增区间，令得减区间；

（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，，进而转为研究函数最小值即可.

试题解析：

（）的定义域为，且．

∵在处取得极值，

∴，解得或（舍），

当时，，；

，，

∴函数在处取得极小值，

故．

（）．

令，解得；

令，解得，

∴函数的单调增区间为，单调减区间为．

（）要使在上没有零点，只需在上或，

又，只需在区间上，．

①当时，在区间上单调递减，则，

解得与矛盾．

②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，

解得，

∴．

③当时，在区间上单调递增，

，满足题意，

综上所述，实数的取值范围是：．