Question

点M（m，4）m＞0为抛物线x²=2py（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，
（1）求m与p的值；
（2）以M点为切点作抛物线的切线，交y轴与点N，求△FMN的面积．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，可以求出p，即可得到抛物线的方程，再根据点M（m，4）m＞0为抛物线上一点，可以求出m的值，从而得到答案；
（2）利用点斜式设出切线方程，联立抛物线的方程，消去y，得到关于x的一个一元二次方程，根据△=0，可求出k的值，即可得到切线方程，求出N，利用三角形的面积公式，即可求得答案．

解答：解：（1）∵点M（m，4）m＞0为抛物线x²=2py（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，
∴抛物线定义可知，|FM|=

p

2

+4=5，
∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y，
又∵M（m，4）在抛物线上，
∴m²=4×4，
∴m=4，
故p=2，m=4；
（2）由（1）可知，M（4，4），
由题意可知，切线的斜率k必定存在，
∴设过M点的切线方程为，y-4=k（x-4），
联立方程组可得，

x2=4y y-4=k(x-4)

，
消去y可得，x²-4kx+16k-16=0，
∵直线为抛物线的切线，则直线与抛物线只有一个交点，
∴x²-4kx+16k-16=0只有一个根，
∴△=16k²-64（k-1）=0，
∴k=2，
∴切线方程为y=2x-4，
∴切线与y轴的交点为N（0，-4），且抛物线的焦点为F（0，1），
∴S△FMN=

1

2

|FN|•m=

1

2

×5×4=10，
故△FMN的面积为10．

点评：本题考查了抛物线的定义的运用，考查了直线与抛物线的位置关系．在研究圆锥曲线的问题时，要注意运用运用圆锥曲线的定义，而直线与圆锥曲线的位置关系，一般联立方程组，消元转化成二次方程进行研究．属于中档题．