Question

8．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？
（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有多少种不同的取法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分三类讨论：①全取出红球，②取出的4个球中有3个红球1个白球，③取出的4个球中有2个红球2个白球，分别求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案；
（2）由间接法分析：先计算“从红白共10个球中取出4个球”的取法数目，在计算“全是白球”的取法数目，由“从红白共10个球中取出4个球”的取法数目减去“全是白球”的取法数目即可得答案．

解答 解：（1）依题意可知，取出的4个球中至少有2个红球，可分为三类：
①全取出红球，有C₄⁴种不同的取法；
②取出的4个球中有3个红球1个白球，有C₄³×C₆¹种取法；
③取出的4个球中有2个红球2个白球，有C₄²×C₆²种不同的取法．
由分类计数原理知，共有C₄⁴+C₄³×C₆¹+C₄²×C₆²=115种不同的取法．
（2）依题意知，若取出4个球总分不少于5分，则取出的4个球不能全部为白球，
从红白共10个球中取出4个球，有C₁₀⁴种不同的取法，而全是白球的取法有C₆⁴种，
从而满足题意的取法有：C₁₀⁴-C₆⁴=195种．

点评 本题考查排列、组合的综合应用，（2）中使用间接法分析，可以避免分类讨论．