Question

【题目】已知二次函数．

（Ⅰ）若的最大值为，求实数的值；

（Ⅱ）对于任意的，总有．求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ) 设，转化为二次函数在的最值，由二次函数图象性质可知此最大值只能是之一，通过讨论，即可求出a；

(Ⅱ)令t＝sinxcosx，变量分离转化为关于t的二次函数的最值，通过恒成立求出a的取值范围．

解：(Ⅰ)二次函数中

设∴,若（）的最大值为

即关于S的二次函数在区间上有最大值,

由二次函数图象性质可知此最大值只能是之一

若，此时二次函数开口向下且对称轴，所以函数在区间上最大值在顶点处取得，不是，不合题意；

若，此时二次函数开口向上且对称轴，最大值，符合题意

若，此时二次函数开口向下且对称轴，并不在顶点处有最大值，不符合题意

综上所述.

(Ⅱ)对于任意的，总有，

令，

则命题转化为，不等式恒成立，

当时，使成立；

当时，有

对于任意的恒成立；

∵∴或，则,故要使①式成立，

则有，又，故要使②式成立，则有，由题设知．

综上，为所求。