Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D．

(1) 若AB＝，求CD的长；

(2)若直线斜率为2，求的面积；

(3) 若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) .

【解析】

（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线斜率为2，则直线方程为，求出弦长，点M到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE的面积S＝AB·d＝2，令，换元后根据二次函数求最值即可.

(1) 由题可知，直线AB斜率显然存在，设为k，则直线AB：y＝kx＋1.

因为O点到直线AB的距离d1＝，

∴+＝4，

∴AB＝2

由2＝得k2＝15.

因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：y＝x＋1，

∴M点到直线CD的距离d2＝，

∴＝1－，CD＝2＝2＝.

(2) 直线斜率为2，则直线方程为

到直线距离为到直线距离为

(3)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝×4×2＝4；

当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：y＝kx＋1，k≠0，直线CD：y＝－x＋1.

由<1得k2>3， 所以k∈(－∞，－)∪(，＋∞)．

因为＋＝4，所以AB＝2.

因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d＝＝，

所以△ABE的面积S＝AB·d＝2.

令，则S＝

∈.

综上，△ABE面积的取值范围是.