Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，（n≥2，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2（n∈N^*），求证：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，可递推Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，两式作差得a_n-a_n-1=1进而得到通项公式．
（2）用数学归纳法证明，先由证当n=2时，不等式成立．再假设当n=k（k≥2，k∈N⁺）时，不等式成立，递推到当n=k+1时成立即可．

解答：解：（1）当n≥3时，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，
Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，
可得：an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2
∴a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，∴a₂=3
可得，an=

4，(n=1) n+1，(n≥2，n∈N+)

（2）①当n=2时，b₂=b₁2-2=14＞3=a₂，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N⁺）时，不等式成立，即b_k＞k+1
那么，当n=k+1时，b_k+1=b_k2-（k-1）b_k-2=b_k（b_k-k+1）-2＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据①，②可知，当n≥2，n∈N+时，b_n＞a_n．

点评：本题主要考查由数列的通项和前n项和之间的关系来求数列的通项公式，要注意分类讨论，还考查了用数学归纳法证明不等式，要注意两点，一是递推基础不能忽视，二是递推时要变形，符合假设的模型．