Question

【题目】抛物线的焦点为，斜率为正的直线过点交抛物线于、两点，满足.

（1）求直线的斜率；

（2）过焦点与垂直的直线交抛物线于、两点，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1） （2）81

【解析】

（1）设直线的方程，联立直线与抛物线方程，化简后由韦达定理表示出，，根据可由向量的坐标关系求得参数，得直线方程的斜率.

（2）根据题意，表示出直线的方程，联立抛物线可得，由（1）可求得，即可由对角线互相垂的性质直求得四边形的面积.

（1）依题意知，设直线的方程为，；

将直线的方程与抛物线的方程联立；

消去得.设，；

所以，； ①

因为，得； ②

联立①和②，消去，，得，

又，则；

故直线的斜率是；

（2）由条件有，

∴直线的斜率；

则直线的方程；

将直线的方程与抛物线的方程联立；

化简可得；

设，，

∴；

∴；

由（1）知；

∴；

；

所以，

四边形的面积为81.