Question

【题目】已知函数.

（1）求函数在处切线方程；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）对任意，恒成立，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）

【解析】

（1）先求导数，再根据导数的几何意义求切线斜率，最后根据点斜式求切线方程即可；

（2）由对分类讨论，当，，，和时，分别求出的单调区间，能合并的合并即可；

（3）由（2）根据的范围，确定在上的单调性及最值，求解关于不等式即可.

（1）由题意，，

在处的切线方程为：，

当时，，，

所以切线方程为：，

即；

（2）由（1）知，，

①当时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增；

②当时，，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增；

③当时，若，则，单调递增，

若，，解得，或，

所以在和上单调递增，

，解得，

所以在上单调递减；

若，，解得，或，

所以在和上单调递增，

，解得，

所以在上单调递减，

综上所述，时，的增区间为，减区间为；

时，的增区间为和，减区间为；

时，的增区间为；

时，的增区间为和，减区间为；

（3）由对任意，恒成立，

可转化为，恒成立，

由（2）知，①时，在上单调递增，

所以，，

所以，解得；

②当，即时，所以在上单调递增，

所以，，

所以，解得，所以；

③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

，所以，，

所以，不等式无解；

④当，即时，在上单调递减，

所以，，

所以，解得，所以；

综上.