Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在区间上无零点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）

【解析】

（1）当时，，令，求出不等式解集，可得单调递增区间，令，求出不等式解集，可得单调递减区间，即可得解；

（2）函数在区间上无零点，可转化为在区间上恒成立或恒成立，分和两种情况讨论，时，通过放缩法说明在区间上恒成立，时，取特殊值，利用零点存在性定理说明在区间上有零点，由此即可得的最小值.

解：（1）当时，，定义域为，

则，

令，得，令，得

的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）函数在区间上无零点，

在区间上，恒成立或恒成立，

，

，

①当时，，

在区间上，，

记，

则，

在区间上，，

在区间上，单调递减，

，即，

，

即在区间上恒成立，满足题意；

②当时，，，

，

，，

，

在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.

综上所述，，此时，函数在区间上无零点，

的最小值为.