Question

已知函数
（Ⅰ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，方程有实根，求实数的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）0．

解析试题分析：（Ⅰ）函数在上为增函数，则它的导函数在上恒成立，于是问题转化为不等式恒成立问题，这类问题若方便分离参数一般分离参数，若不方便分离参数，则可从函数自身的单调性解决，但往往会涉及分类讨论，较为麻烦，根据题目特点，本题需要采用第二种方法；（Ⅱ）这是一个由方程有解求参数取值范围（或最值）的问题，这类问题若方便分离参一般可分离参数，转化为求函数的值域问题，若不方便分离参数，则根据函数类型，采用数形结合方法解答，本题适合于第一种方法，但本题分离参数后，若直接求的最值，则较为困难，比较巧妙的做法是，将问题转化为求的最值.
试题解析：（I）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立       
?当时，在上恒成立，
所以在上为增函数，故 符合题意
?当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立
令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以因为，所以.综上所述，的取值范围为 
（Ⅱ）当时，可化为，
问题转化为在上有解，
即求函数的值域，
令，，
所以当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，因此，
而，所以，即当时，取得最大值0.
考点：函数的单调性、函数与方程的综合问题.