Question

【题目】已知是抛物线上一点， 到直线的距离为， 到的准线的距离为，且的最小值为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ） 的最小值等价于点到直线的距离， ∴，解得，从而可得结果；（Ⅱ）设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.

试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，

则，其最小值为点到直线的距离， ∴，解得（舍去负值），

∴抛物线的方程为．

（Ⅱ）设，由可得， 则，所以 ∴的中点的坐标为，

同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，

则直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．