Question

【题目】设数列的首项，且时，，，，．

（Ⅰ）若，求，，，．

（Ⅱ）若，证明：．

（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

试题(I)由a1=a且0<a<1代入得到a2；a2∈(3，4)，代入(2)得到a3；a3∈(0，1)，代入(1)得a4；a4∈(3，4)，代入(2)得到a4；a5∈(0，1)，代入(1)所以求得a5；
(II)分两种情况①当0<an≤3时和②当3<an<4得到0<an+1<4得证；
(III)分三种情况若0<a<1；1≤a<2；若a=2，由特殊值得到k的特值，写出k的一般的取值即可．

试题解析：

(Ⅰ)∵得，∴，

∵，∴，

，∴，

，∴．

(Ⅱ)证明：①当时，，∴，

②当，，∴，

综上，时，．

(Ⅲ)①若，由Ⅰ知，所以，

∴ 当时，对所有的，成立．

②若，则，且，

，∴，

∴ 当时，对所有的，成立，

③若，则，∴，

∴ 时，对所有的，成立，

综上，若，则，，

若，则，，

若，则，．