Question

（本小题满分12分）

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90^O，∠EAC＝60⁰，AB＝AC＝AE．

（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；

（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

证明如下：

取的中点连结，则

，，    

取的中点，连结，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，∴．又∵，

∴且，四边形是平行四边形．

∴，而平面，平面，∴平面6分

（或可以证明面面平行）

（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，

∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱 8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．   10分

设，则，，

∴，

∴．   

           1２分

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，

建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．

设，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

设平面的法向量为，

则且，

∴∴解之得

取，得平面的一个法向量为.        

又∵平面的一个法向量为．

．

     1２分

 

【解析】略