Question

11．已知函数f（x）=ax-lnx，当x∈（0，e]（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a的值为（　　）

• A． e
• B． e²
• C． 2e
• D． 2e²

Answer 1

分析 先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数${f^/}（x）=\frac{ax-1}{x}$，
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
②当a＞0时，f′（x）=0的根为 $\frac{1}{a}$
当 $0＜\frac{1}{a}＜e$时，$f（x）在x∈（{0，\frac{1}{a}}）上单调递减，在（{\frac{1}{a}，e}）上单调递增$$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{a}}）=1-ln\frac{1}{a}=3$，解得a=e²，
③当 $\frac{1}{a}≥e$时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
综上所述a=e²，
故选：B

点评 本题主要考查导数的应用．利用函数单调性最值和导数的关系，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键．