Question

对于三次函数。
定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；
定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。
己知，请回答下列问题：
（1）求函数的“拐点”的坐标
（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）

Answer 1

（1）“拐点”坐标是;
（2）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。
或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.
（3）或.

解析试题分析：（1）依题意，计算 ，.
由 ，得，再据，可得“拐点”坐标是.
（2）由(1)知“拐点”坐标是.
根据定义（2），考查
=
==，
作出结论：
一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.
或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.
（3）根据（2）写出或写出一个具体的函数,如或.
试题解析：（1）依题意，得： ，
。        2分
由 ，即。∴，又 ，
∴的“拐点”坐标是.。        4分
（2）由(1)知“拐点”坐标是.
而=
==，
由定义(2)知：关于点对称。        8分
一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.                          10分
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数  ）都可以给分
（3）或写出一个具体的函数,如或.    12分
考点：新定义问题，导数的计算，函数图象的对称性.