Question

【题目】已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，得到向量，求出平面平面的法向量，利用向量与平面垂直，即可证明线面平行；（2）求出平面与平面的法向量，利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值．

试题解析：（1）设AB＝a，取AC的中点O，连接EO，OP.

∵AE＝AC，又∠EAC＝60°，∴EO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACDE，∴EO⊥平面ABC，∴EO⊥OP，

又OP∥AB，AB⊥AC，所以OP⊥AC.

以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图，

则C（0，，0），A（0，－，0），E（0，0，），

D（0，，），B（a，－，0）.

则P（，0，0），

设平面EAB的法向量为＝（x0，y0，z0）. ＝（a，0，0），＝（0，，），

∴＝0，＝0，

即，令z0＝1，得y0＝－，又x0＝0，

∴＝（0，－，1）.

∴，

∴DP∥平面EAB （另法：取AB中点F，然后证DP∥EF或证平面ODP∥平面EAB）

（2）设平面EBD的法向量为＝（x1，y1，z1），易知平面ACDE的一个法向量为＝（1，0，0）.

∵，即，

令z1＝1，则x1＝，y1＝0，＝（，0，1）.

∴.