Question

【题目】设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与x轴不重合，设P为圆A上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA于E

（1）证明为定值，并写出E的轨迹方程；

（2）设点M的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，问：在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补，若存在求出D点的坐标，否则说明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在使直线DM与DN的倾斜角互补.

【解析】

(1)由椭圆的定义可判断出点E的轨迹，进而可求出轨迹方程；

(2)先由题意设直线方程为，与椭圆方程联立，由根与系数关系，以及直线DM与DN的倾斜角互补，即可求出结果.

（I）∵E为线段PB的垂直平分线上一点，∴

∴>

∴点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，2a=4.c=1, ∴

E的轨迹方程。

（II）由于直线过点B（1,0）且与x轴不重合，所以可设方程为

联立消去x得 ，

设 ，则

令,若直线DM与DN的倾斜角互补，则

,

∴ ∴

即∴

∴∴∴

所以存在使直线DM与DN的倾斜角互补.