Question

【题目】已知抛物线上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2．

(1)若，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求的值；

(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且(其中O为坐标原点)．

①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①见证明； ②最小值88

【解析】

（1）根据点的坐标和抛物线的定义，求得的值，进而求得抛物线的方程以及点的坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点的横坐标，利用抛物线的定义求得的值.（2）①设出直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算，化简，由此证得直线过定点. ②利用①的结论求得,由此求得四边形面积的表达式，换元后利用二次函数的单调性来求得四边形面积的最小值.

解：（1）∵点，∴，解得，

故抛物线E的方程为：，

所以当时，

∴直线的方程为，联立可得，，

.

（2）①证明：设直线，，

联立抛物线方程可得，

，

由得：，解得或（舍去），

即，所以直线过定点；

②由①得

同理得，.

则四边形面积

.

令，则是关于的增函数，

故当时，.当且仅当时取到最小值88.