Question

【题目】已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2 =0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意可设椭圆方程为 ，

则右焦点F（ ）由题设

解得a2=3故所求椭圆的方程为 ；

（2）解：设P为弦MN的中点，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0

由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①

∴ 从而

∴ 又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

则 即2m=3k2+1②

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得 解得 ．

故所求m的取范围是（ ）．

【解析】（1）依题意可设椭圆方程为 ，由题设 解得a2=3，故所求椭圆的方程为 ．（2）设P为弦MN的中点，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．