Question

【题目】已知函数，.

（1）若直线与曲线恒相切于同一定点，求直线的方程；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先由直线与曲线恒相切于同一定点，得曲线必恒过定点，根据曲线方程求出定点坐标，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出切线方程；

（2）由题意先得到在上恒成立，再令，对函数求导，分类讨论，导数的方法研究函数的单调性，进而可求出参数范围.

（1）因为直线与曲线恒相切于同一定点，

所以曲线必恒过定点，

由，，令，得，

故得曲线恒过的定点为.

因为，所以切线的斜率，

故切线的方程为.

（2）因为当时，恒成立，

所以恒成立，

即在上恒成立.

令，

则，

令，

则.

①当时，显然，

所以在上单调递增，故，

因为当时，，所以在上单调递增，

故.从而，当时，恒成立.

②当时，

令，

则，

所以在上单调递增，故，

同①可证，当时，恒成立.

③当，即时，

由②可知在上单调递增，

因为，

又 ，

故必存在，使在上，即，

因此在上单调递减，

所以时，即，

所以在上单调递减，

因此时，

即，

即，

因此此时不恒成立，

综上可得.