Question

【题目】已知椭圆离心率为，且与双曲线有相同焦点．

（1）求椭圆标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于、两点，原点在以为直径的圆上，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）设所求椭圆的标准方程为，焦距为，求出双曲线的焦点坐标，根据题意求出、、的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由题意得出，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，即可求得直线的方程.

（1）设所求椭圆的标准方程为，焦距为，

双曲线的标准方程为，其焦点为，则椭圆中，

又椭圆的离心率为，，，

因此，椭圆标准方程为；

（2）若直线的斜率为零，则直线与轴重合，此时点、，

此时，以为直径的圆的圆心为坐标原点，不合乎题意；

设直线的方程为，设点、，

联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，，

由题意知，即，解得，

所以，直线的方程为或，即或.