Question

【题目】已知函数，其中.

（1）证明：；

（2）若，证明；

（3）用表示和中的较大值，设函数，讨论函数在上的零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3）见解析

【解析】

（1）首先设函数，再求的单调性，根据单调性即可证明，即证.（2）由（1）知，再根据二次函数的性质即可证明.（3）首先对和的范围进行分类讨论得出和在的单调性和最值，再判断和的零点个数，从而得到的零点个数.

（1）设函数，则.

令得，则在上，，为增函数，

在上，，为减函数.

所以，即，即证.

（2）当时，由（1）知，.

前面的“”仅当时取等号.后面的“”仅当时取等号，

不能同时取到，所以.

（3）在区间上，，

所以，

所以在区间上不可能有零点.

下面只考虑区间上和处的情况.

由题意的定义域为，.

令可得（负值舍去）.

在上为增函数，

在上，为减函数，

所以.

①当时，，所以.

因为在区间上，，且，

所以此时存在唯一的零点.

②当时，.

因为，所以.

所以.

于是恒成立.

结合函数的性质，可知此时存在唯一的零点.

③当时，，所以在上递增.

又因为，，

所以在区间上存在唯一的零点.

结合函数的性质，可知是唯一的零点.

综上所述：当时，在上有唯一的零点；

当时，在上也有1个零点.