Question

【题目】如图，在五面体中，平面，平面，.

（1）求证：；

（2）若，，且二面角的大小为，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；

（2）如图，取的中点为，连接,设与的交点为，连接,利用二面角的知识，求出，连接,再利用线面垂直推导线线垂直和二面角的知识，得出即为所求角，把对应值代入即可得答案.

（1）∵面，面，

∴

又面，面，

∴面

又面，面面，

∴

（2）设的中点为，连接,

设与的交点为，连接,

∵面，面，∴，．

∵，∴，．

又面，面，且面面．

∴二面角的平面角．

又在中，，

∴是边长为2的正三角形，

∴,

∵平面，

∴,

∵,

∴面，

由（1）知，又，，

∴四边形为正方形，

∴，又，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴面，

∴，

取的中点为，连接,

∴，

∵ ，

∴面,

∴,

∴即为二面角所成的平面角，

∵是边长为2的正三角形，四边形为正方形，

∴，,

∴，

∴，

∴二面角的平面角大小为.