Question

【题目】在直角坐标系中，椭圆经过点，右焦点到右准线和左顶点的距离相等，经过点的直线交椭圆于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是直线上在椭圆外的一点，且，证明：点在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

(1)根据点在椭圆上以及右焦点到右准线和左顶点的距离相等列方程组可解得;

(2)当直线轴时,将用表示后,代入不成立, 当直线与轴不垂直时,设出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理以及，，,代入可解得.

（1）依题意可列方程组: ,所以,

所以,所以,又,所以,解得,

所以椭圆的标准方程为：.

(2)证明:设,

当直线轴，则,，则，

因为在椭圆外,所以与同号,所以,所以,

又，所以不成立，故直线与轴不垂直.

当直线与轴不垂直时，设，

设直线的方程为，与椭圆联立消去并整理得，

，

因为，

所以，

所以，

同理可得:，.

因为点在椭圆外，所以、同号，

所以

，

由得，

，

所以,

所以,所以,

所以，所以点在定直线上.