Question

【题目】出版商为了解某科普书一个季度的销售量（单位：千本）和利润（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2.4	3.1	4.6	5.3	6.4	7.1	7.8	8.8	9.5	10
	18.1	14.1	9.1	7.1	4.8	3.8	3.2	2.3	2.1	1.4

根据上述数据画出如图所示的散点图：

（1）根据图中所示的散点图判断和哪个更适宜作为销售量关于利润的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）

（2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出关于的回归方程；

（3）根据回归方程设该科普书一个季度的利润总额为（单位：千元），当季销售量为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润）

参考公式及参考数据：

①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的公式分别为.

②参考数据：

6.50	6.60	1.75	82.50	2.70

表中.另：.计算时，所有的小数都精确到0.01.

Answer 1

【答案】（1））更适宜（2）（3）季销量千本时，季利润总额预报值最大

【解析】

（1）根据散点图对应的图象特征判断.

（2）采用换元法令，先建立关于的线性回归方程，再将代入求解.

（3）根据题意建立函数模型，再利用导数法求解.

（1）更适宜作为销售量关于利润的回归方程类型；

（2）令，先建立关于的线性回归方程，

由于，

，

所以关于的线性回归方程为，

即关于的回归方程为.

（3）由题意得，，

令即，解得，所以.

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

所以当时，即季销量千本时，季利润总额预报值最大.