Question

已知圆M（M为圆心）的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．
（2）设P（2m，m），MP的中点 Q(m，

m

2

+1)，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．

解答：解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=

1

sin30°

=2，即（2m）²+（m-2）²=4，…（3分）
解得：m=0，m=

4

5

故所求点P的坐标为P（0，0）或P(

8

5

，

4

5

)．　 　　…（6分）
（2）设P（2m，m），MP的中点Q(m，

m

2

+1)，因为PA是圆M的切线
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x-m)2+(y-

m

2

-1)2=m2+(

m

2

-1)2…（9分）
化简得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故

x2+y2-2y=0 2x+y-2=0

解得

x=0 y=2

或

x= 4 5 y= 2 5

即（0，2）和（

4

5

，

2

5

）．…（14分）

点评：本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．