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【题目】设复平面上点对应的复数 为虚数单位)满足,点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点,倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是为坐标原点.

(1)求点的轨迹方程

(2)求直线的方程;

(3)设PQR三个顶点在曲线上,求证:当PQR重心时,PQR的面积是定值.

【答案】(1);(2);(3)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)【方法一】根据椭圆的定义可知结合即可求得点的轨迹方程;【方法二】根据复数的性质化简即可得点的轨迹方程;(2)【方法一】根据双曲线:与曲线有共同焦点求得双曲线的方程进而可得双曲线的渐近线方程设直线的方程为联立渐近线方程与直线的方程求得的坐标再根据即可求得直线的方程【方法二】联立直线的方程与双曲线的方程结合韦达定理再根据即可求得直线的方程;(3)【方法一】设是△PQR重心可得根据即可求得定值【方法二】设,则有:,推出代入到椭圆方程结合即可求得定值.

试题解析:(1)【方法一】由题意知,点的轨迹为椭圆.

∴点的轨迹方程.

【方法二】由题意知,,整理得.

∴点的轨迹方程

(2)【方法一】∵有共同焦点

,即

∴双曲线的方程为

∴双曲线的渐近线方程

设直线的方程为.

联立方程,得.

即直线的方程为.

【方法二】∵有共同焦点

,即.

∴双曲线的方程为

设直线的方程为,联立方程得到.

即直线的方程为.

(3)【方法一】设,.

的重心

.

不妨设,.

【方法二】设,则有:,代入椭圆方程得:.

所以 .

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A.

B.

C.

D.

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A. B.

C. D.

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