【题目】设复平面上点对应的复数 (为虚数单位)满足,点的轨迹方程为曲线. 双曲线:与曲线有共同焦点,倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、,,为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)求直线的方程;
(3)设△PQR三个顶点在曲线上,求证:当是△PQR重心时,△PQR的面积是定值.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)【方法一】根据椭圆的定义可知,结合,即可求得点的轨迹方程;【方法二】根据复数的性质,化简即可得点的轨迹方程;(2)【方法一】根据双曲线:与曲线有共同焦点,求得双曲线的方程,进而可得双曲线的渐近线方程,设直线的方程为,联立渐近线方程与直线的方程,求得,的坐标,再根据,即可求得直线的方程;【方法二】联立直线的方程与双曲线的方程,结合韦达定理,再根据,即可求得直线的方程;(3)【方法一】设,,由是△PQR重心可得,根据,即可求得定值;【方法二】设、、,则有:,推出,代入到椭圆方程,结合,即可求得定值.
试题解析:(1)【方法一】由题意知,点的轨迹为椭圆.
∵
∴
∴点的轨迹方程为.
【方法二】由题意知,,整理得.
∴点的轨迹方程为
(2)【方法一】∵与有共同焦点
∴,即
∴双曲线的方程为
∴双曲线的渐近线方程
设直线的方程为.
联立方程,得.
,,即直线的方程为.
【方法二】∵与有共同焦点
∴,即.
∴双曲线的方程为
设直线的方程为,联立方程得到.
∴
∴,即直线的方程为.
(3)【方法一】设,.
∵为的重心
(.
不妨设,则.
【方法二】设、、,则有:,代入椭圆方程得:.
所以 .
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【题目】已知椭圆:过点,且椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于,两点,且.若直线上存在点P,使得是以为顶角的等腰直角三角形,求直线的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,点、分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为,点在双曲线上,不在轴上的动点与动点关于原点对称,且四边形的周长为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线交的轨迹于,两点,为上一点,且满足,其中,求的取值范围.
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【题目】给定函数和,若存在常数,,使得函数和对其公共定义域的任何实数分别满足和,则称直线:为函数和的“隔离直线”,给出下列四组函数:
(1),; (2),;
(3),; (4),;
其中函数和存在“隔离直线”的序号是( )
A.(1)(3)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(4)
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【题目】春节过后,甲、乙、丙三人谈论到有关部电影,,的情况.
甲说:我没有看过电影,但是有部电影我们三个都看过;
乙说:三部电影中有部电影我们三人中只有一人看过;
丙说:我和甲看的电影有部相同,有部不同.
假如他们都说的是真话,则由此可判断三部电影中乙看过的部数是( )
A.部B.部C.部D.部或部
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【题目】三角形的三个顶点的坐标分别为,,,则该三角形的重心(三边中线交点)的坐标为.类比这个结论,连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线,四面体的四条中线交于一点,该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为,,,,则该四面体的重心的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
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