Question

【题目】在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，其中，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式，又因为点在双曲线上，所以，联立两个方程可得到参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为，得，代入椭圆方程得，根据弦长公式得到，求表达式的范围即可.

详解：(1)设点，分别为， ，由已知，所以，， ，又因为点在双曲线上，所以，

则，即，解得，，所以.

连接，因为，，所以四边形为平行四边形，

因为四边形的周长为，所以，

所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆(除去左右顶点)，可得动点的轨迹方程为：.

(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且.

由得，

∴，得，

设，，，则，

由，得，

代入椭圆方程得，由得，

∴，

令，则，∴.