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    已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(c)=0,当0＜x＜c时，f(x)＞0.

    （1）求证：＞c;

    （2）求证：-2＜b＜-1;

    （3）当c＞1,t＞0时，求证：++＞0.

    思路解析：（1）直接证明＞c较难，可以考虑反证法；（2）综合法可以推导出-2＜b＜-1;（3）构造函数证明++＞0比较方便.

    证明：（1）∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,

    ∴f(x)=0有两个不同的实根x1、x2.

    又∵f(c)=0,∴c是方程f(x)=0的一个根.

    不妨设x1=c,x2是另一个根,∴x1x2=.

    ∴x2=,即f()=0.

    假设＜c，则有0＜＜c.

    ∵当0＜x＜c时,f(x)＞0,∴f()＞0.

    这与f()=0矛盾.

    ∴＞c.

    （2）由（1）得＞c.

    ∵a＞0,c＞0,∴1＞ac＞0.

    ∵、c是ax2+bx+c=0的两个根，∴+c=-.

    ∴1+ac=-b.∴ac=-1-b.∴1＞-1-b＞0.∴有-2＜b＜-1.

    （3）∵t＞0,∴++＞0

    *t(t+1)a+t(t+2)b+(t+1)(t+2)c＞0

    (a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c＞0.                                  ①

    设g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c.

    ∵c＞1＞0,∴f(1)＞0,即a+b+c＞0.

    又∵-2＜b＜-1,

    ∴a+2b+3c=(a+b+c)+(b+2c)＞b+2c＞b+2＞0.

    ∴二次函数g(t)的对称轴t=-＜0.

    ∴g(t)在［0，+∞)上是增函数.

    ∴t＞0时有g(t)＞g(0)=2c＞0.

    ∴(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c＞0成立.

    ∴++＞0.


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    1
    3
    )
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）定义正数数列{an}，a1=
    1
    2
    ，
    a
    2
    n+1
    =2anf(an)(n∈N*)    ，求数列{an2}的通项公式；
    （3）已知b&n=
    a
    2
    n
    a
    2
    n+1
    2n-2
    ，设Sn为bn的前n项和，证明：
    1
    6
    ≤Sn＜
    1
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    ax2+x
    2x2+b
    （a，b为常数）为奇函数，且过点(1，
    1
    3
    )    ．
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）定义正数数列{an}，a1=
    1
    2
    ，
    a
    2
    n+1
    =2anf(an)(n∈N*)    ，证明：数列{
    1
    a
    2
    n
    -2}    是等比数列；
    （3）令bn=
    1
    a
    2
    n
    -2，Sn为{bn}    的前n项和，求使Sn＞
    31
    8
    成立的最小n值．

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    已知f(x)=
    ax2+2
    b-3x
    是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f(2)=-
    5
    3
    ．
    （1）求a，b的值；
    （2）请用函数单调性的定义说明：f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
    （3）求f（x）的值域．

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    已知f(x)=
    ax2+bx+1
    x+c
    (a＞0)    是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2
    		2
    ，求f（x）的表达式．

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