Question

已知f(x)=

ax2+x

2x2+b

（a，b为常数）为奇函数，且过点(1，

1

3

)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{an}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，证明：数列{

1

a 2 n

-2}是等比数列；
（3）令bn=

1

a 2 n

-2，Sn为{bn}的前n项和，求使Sn＞

31

8

成立的最小n值．

Answer 1

分析：（1）根据函数为奇函数和过点(1，

1

3

)，求出a，b，确定出f（x）的解析式．
（2）

a

n+1 2

=2anf(n)=2an

an

2 a n 2 +1

=

2 a n 2

2 a n 2 +1

，化简可得数列{

1

a 2 n

-2}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（3）b_n为等比数列，根据等比数列的求和公式求出S_n，解出不等式中n的范围，从而确定n的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

ax2+x

2x2+b

为奇函数，∴f（-x）=

a(-x)2-x

2(-x)2+bx

=

ax2-x

2x2+b

=-

ax2+x

2x2+b

=-f（x），
∴a=0；
又f（x）过点（1，

1

3

），∴f（1）=

x

2x2+b

=

1

2+b

=

1

3

，∴b=1．∴f（x）=

x

2x2+ 1

（2）∵

a

2 n+1

=2anf(n)=2an

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

∴

1

a 2 n+1

=1+

1

2 a 2 n

，，
∴

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)∴数列{

1

a 2 n

-2}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（3）∵bn=

1

a n 2

-2， a1=

1

2

∴Sn=

2[1-( 1 2 )2]

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)2]
又Sn＞

31

8

，即4[1-(

1

2

)2]＞

31

8

∴n＞5
∴满足Sn＞

31

8

的最小为6．

点评：本题是数列与函数的综合题，考查了等比数列的证明，等比数列的求和，以及不等式的解法，综合性比较强，应该灵活掌握．