Question

若P是锐角△AOB所在的平面内的动点，且

OP

•

OB

=

OA

•

OB

．给出下列命题：
①|

OP

|=|

OA

|恒成立
②|

OP

|的最小值为|

OB

|
③点P的轨迹是一条直线
④存在P使|

PO

+

PB

|=|

OB

|
其中正确的命题个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①由

OP

•

OB

=

OA

•

OB

，可得(

OP

-

OA

)•

OB

=0，利用向量垂直与数量积的关系可得：(

OP

-

OA

)⊥

OB

，|

OP

|=|

OA

|不一定成立；
②根据①，及由于△AOB是锐角三角形，可得|

OP

|＜|

OB

|；
③由①可知：

AP

⊥

OB

，可知：点P的轨迹是一条直线；
④当

PO

⊥

PB

时，以PO、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，利用矩形的对角线的性质即可得出．

解答：解：①由

OP

•

OB

=

OA

•

OB

，可得(

OP

-

OA

)•

OB

=0，即(

OP

-

OA

)⊥

OB

，|

OP

|=|

OA

|不一定成立，因此不正确；
②根据①，及由于△AOB是锐角三角形，可得|

OP

|＜|

OB

|，因此②不正确；
③由①可知：

AP

⊥

OB

，因此点P的轨迹是一条直线，正确；
④当

PO

⊥

PB

时，以PO、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，因此存在P使|

PO

+

PB

|=|

OB

|，正确．
综上可知：只有③④正确．
故选：B．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的平行四边形法则、矩形的对角线的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．