Question

【题目】某学校随机抽取100名考生的某次考试成绩，按照[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（满分100分）分为5组，制成如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于75分）．已知第3组，第4组，第5组的频数成等差数列；第1组，第5组，第4组的频率成等比数列．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若从第3组、第4组、第5组中按分层抽样的方法抽取6人，并从中选出3人，求这3人中至少有1人来自第4组的概率．

Answer 1

【答案】(1) a＝0.04，中位数．平均数87.25；(2)．

【解析】

（1）根据频率之和为1，即可求出的值，再根据频率分布直方图求出平均数，中位数。（2）首先分别按比例从第3组、第4组、第5组中抽出3、2、1人，从6位同学中抽取3位同学有20种可能，找出3人中至少有1人来自第4组的情况。

（1）设第3组，第5组的频率分别为x，y，

由题意可得，

解得x＝0.3，y＝0.1，a＝0.04，

∴（）＝87.25，

由频率分布直方图知，中位数在[85，90），设中位数为m，

则0.01×5+0.07×5+0.06×（m﹣85）＝0.5，

解得中位数m．

（2）∵成绩较好的第3组、第4组、第5组中的人数分别为30，20，10，

∴按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别为3，2，1，

设第3组的3位同学分别为A1，A2，A3，第4组的2位同学分别为B1，B2，第5组的1位同学为C，

则从6位同学中抽取3位同学有20种可能，分别为：

（），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，A3，C），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，A3，C），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），

这3人中至少有1人来自第4组包含的基本事件有16个，分别为：

（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），

∴这3人中至少有1人来自第4组的概率为P．