Question

【题目】如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD＝DD1＝1，AB＝2，BC＝3.

（1）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；

（2）当EC＝1时，求几何体A﹣EFD1D的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

先利用面面平行的性质定理,判断出四边形EFD1D为平行四边形,再证明其邻边互相垂直即可；

连接AE,根据条件,结合直四棱柱的几何特征和勾股定理,判断出为四棱锥A﹣EFD1D的高,根据,计算出四棱锥A﹣EFD1D的底面积和高,代入体积公式求解即可.

（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥CC1，

∵EF∥CC1，∴EF∥DD1，

又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

平面ABCD∩平面EFD1D＝ED，

平面A1B1C1D1∩平面EFD1D＝FD1，

∴ED∥FD1，∴四边形EFD1D为平行四边形，

∵侧棱DD1⊥底面ABCD，又DE平面ABCD内，

∴DD1⊥DE，∴四边形EFD1D为矩形；

（2）证明：连接AE，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，

∴侧棱DD1⊥底面ABCD，又AE平面ABCD内，

∴DD1⊥AE，

在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝2，则；

在Rt△CDE中，EC＝1，CD＝1，则；

在直角梯形中ABCD，；

∴AE2+DE2＝AD2，即AE⊥ED，

又∵ED∩DD1＝D，∴AE⊥平面EFD1D；

由（1）可知，四边形EFD1D为矩形，且，DD1＝1，

∴矩形EFD1D的面积为，

∴几何体A﹣EFD1D的体积为.