Question

【题目】设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）写出一个正整数，使得是数列的项；

（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数和，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）可取

（3）存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：，，，理由见解析.

【解析】

（1）由已知条件可得数列的首项和公差，进而可得其通项；
（2）由已知可求得的通项，只要即可，写出一个满足条件的即可；
（3）可得，由，，成等差数列，可得关于正整数和的式子，取整数验证即可．

（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有，

解得，，

所以的通项公式为．

（2）当时，，所以．

由，得，两式相减，得，

故，

所以，是首项为，公比为的等比数列，所以．

，

要使是中的项，只要即可，可取．

（只要写出一个的值就给分，写出，，也给分）

（3）由（1）知，，

要使，，成等差数列，必须，即

，

化简得．

因为与都是正整数，所以只能取2，3，5．

当时，；当时，；当时，．

综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：，，．