Question

设a为锐角，若sin(α-

π

6

)=

3

5

，则cos(2α-

π

12

)的值为

-

17 2

50

．

Answer 1

分析：由a为锐角，sin(α-

π

6

)=

3

5

，可得cos（α-

π

6

）=

4

5

，利用二倍角公式求出sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]和cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]的值，可得sin2α和 cos2α 的值，
再由sin

π

12

 和cos

π

12

的值，从而求得cos(2α-

π

12

)=cos2αcos

π

12

+sin2αsin

π

12

的值．

解答：解：由于a为锐角，若sin(α-

π

6

)=

3

5

，则cos（α-

π

6

）=

4

5

，
∴sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]=sin（α-

π

6

）cos

π

6

+cos（α-

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4+3 3

10

，
cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

，
sin2α=2sinαcosα=

7 3 +24

50

，cos2α=2cos²α-1=

7-24 3

50

．
再由sin

π

12

=

1-cos π 6 2

=

6 - 2

4

，cos

π

12

=

1+cos π 6 2

=

6 + 2

4

，
故 cos(2α-

π

12

)=cos2αcos

π

12

+sin2αsin

π

12

=

7-24 3

50

•

6 + 2

4

+

7 3 +24

50

•

6 - 2

4

=-

17 2

50

．

点评：本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．