Question

【题目】已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.

【解析】

(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；

(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；

(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.

解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.

(Ⅰ)不具有性质①；

(Ⅱ)具有性质①；

具有性质②；

(Ⅲ)解法一

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然，假设数列中存在负项，设，

第一种情况：若，即，

由①可知：存在，满足，存在，满足，

由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.

第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，

另一方面，，由数列的单调性可知：，

这与的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明：

利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列的前项成等比数列，不妨设，

其中，（的情况类似）

由①可得：存在整数，满足，且 （*）

由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，

由可得： （**）

由（**）和（*）式可得：，

结合数列的单调性有：，

注意到均为整数，故，

代入（**）式，从而.

总上可得，数列的通项公式为：.

即数列为等比数列.

解法二：

假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

即成等比数列，不妨设，

然后利用性质①：取，则，

即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满足，

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与数列的单调性矛盾；

即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，

然后利用性质①：取，则数列中存在一项，

下面我们用反证法来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满足，

即由②可知：，

若，则，与假设矛盾；

若，则，与假设矛盾；

若，由于为正整数，故，则，与矛盾；

综上可知，假设不成立，则.

同理可得：，从而数列为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列为等比数列.