Question

根据下列条件求抛物线的标准方程：
（1）抛物线的焦点是双曲线 16x²-9y²=144的左顶点；
（2）过点P（2，-4）．

Answer 1

分析：（1）将双曲线化成标准方程，得到它的左顶点为（-3，0），结合题意得到抛物线的焦点为F（-3，0），由此即可算出抛物线的标准方程；
（2）根据点P（2，-4）在第四象限，得到抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并代入点P的坐标，解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．

解答：解：（1）∵双曲线16x²-9y²=144化成标准方程得

x2

9

-

y2

16

=144，
∴a²=9且b²=16，可得a=3且b=4，双曲线的左顶点为（-3，0）．
又∵抛物线的焦点是双曲线的左顶点，∴抛物线的开口向左，
设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0），可得-

p

2

=-3，解得p=6．
因此，所求抛物线的方程为y²=-12x；
（2）根据点P（2，-4）在第四象限，可得抛物线开口向右或开口向下．
①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
将P的坐标代入，得（-4）²=2p×2，解之得p=4，
∴此时抛物线的方程为y²=8x；
②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x²=-y．
综上所述，所求抛物线的方程为y²=8x或x²=-y．

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．