Question

【题目】如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；

（Ⅱ）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．

（Ⅰ）如图，取的中点连接，，又是的中点，

所以，且，

又是中点，所以，

由四边形是矩形得，，，

所以且.

从而四边形是平行四边形，所以，

∵DH平面ADE，GF平面ADE，∴GF∥平面ADE.

（Ⅱ）如图，在平面内，过点作，因为，所以.又平面，所以，.

以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，设，则，，，.

因为平面，所以为平面的法向量，设为平面的法向量. 又，

,即，取，

，，

所以平面与平面所成角的余弦值为.